プッシュを使うとGmail側の設定が自動的に(というか勝手に)IMAPをオンにします。
まあ、そこまでは良かったのですが、メールが全部既読になってしまうというバグが突然発生しました。色々調べているとTechCrunchにこんな記事が。「Gmailに「勝手に既読にするバグ」あり―応急処置はこちら」
読んでみると、Peekモードをtrueにしろ、とあるがそれだけでは何がなんだかわからないw。
試行錯誤の末、以下の方法であることがわかりました。
1 Gmailの設定からLabに行く。
2その中からIMAP拡張モードというのを選択して有効にする。
下の画像のように

3設定後、Gmailの設定からメール転送とPOP/IMAPを選ぶ。IMAPアクセスの項に選択項目が増えているのが、確認できますが、その中の一番下、フォルダサイズの制限からIMAP フォルダ内のメッセージ数をこの件数に制限するを選択。件数はなんでもいいようです。

これでばっちり直りました。